New PDF release: Algèbre Linéaire 2

By Bernard Le Stum

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New PDF release: L'empire de la valeur : Refonder l'économie

L. a. crise financière a révélé au grand jour les limites de l. a. théorie économique : celle-ci n'a su ni prévoir les désordres à venir, ni même mettre en garde contre de possibles instabilités. Cet aveuglement est le signe d'un profond dysfonctionnement qui exige, pour être corrigé, un renouvellement radical des approches et des techniques, au most excellent rang desquels celui de valeur économique.

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« Il ne suffit pas d’échanger les mots grecs contre d’autres mots d’autres langues, même bien connus. Nous devons bien plutôt nous laisser dire par les mots grecs eux-mêmes, ce qu’ils désignent, eux. » Cet ouvrage présente le texte de deux cours tenus à l’université de Fribourg durant le semestre d’hiver 1951-1952 et le semestre d’été 1952.

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Un hyperplan de K 2 n’est autre qu’une droite, en effet, c’est un ensemble de la forme {(x, y) ∈ K 2 , ax + by = 0}, avec a, b non tous les deux nuls, dont une base est (b, −a). Et réciproquement, la droite engendrée par un vecteur non nul (a, b) est l’hyperplan d’équation bx−ay = 0. 4 Si E est un espace vectoriel de dimension n, alors toute base a n éléments, tout système générateur a au moins n éléments et tout système libre a au plus n éléments. Démonstration : La première assertion est la définition de la dimension (et résulte en fait du théorème).

Dans l’example ci-dessus K 2 = D ⊕ ∆, les projections sont respectivement les projections sur une des droites parallèlement à l’autre. Et on a une description analogue pour l’exemple K 3 = H ⊕ D. Enfin, pour F = P ⊕ I, les projections sont les applications F → P et F → I qui associent à une fonction ses parties paire et impaire. 1 Soit E un espace vectoriel sur K. Si u1 , . . , un ∈ E et λ1 , . . , λn ∈ K, on dit que u = λ 1 u 1 + · · · + λn u n est une combinaison linéaire de u1 , . . , un et que λ1 , .

Un ) grâce au théorème de la base incomplète. Il suit que (vt+1 , . . , vn ) est libre et on voit alors que dim im f ≥ n − t. Réciproquement, si dim im f ≥ n−t, on peut y trouver un système libre (vt+1 , . . , vn ) grâce au théorème de la base incomplète. Pour tout i = 1, . . , n, il existe ui ∈ E tel que f (ui ) = vi et il suit que (u1 , . . , un ) est nécessairement libre. On voit alors que dim E ≥ n. Ceci étant vrai pour tout n, on a bien dim im f = dim E − t. 2 i) Le rang d’une partie S d’un espace vectoriel E est la dimension de l’espace engendré par ce système.

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Algèbre Linéaire 2 by Bernard Le Stum


by George
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